Se infatti si prende in considerazione il numero c, tale che:

                                               c = a + b ,

questo implica che:                    a = c – b   e   b = c – a.
oppure, se si ha che:                  c = a . b ,

ciò significa che:                        a = c / b     e   b = c / a.

Sommessamente, l’allievo viene anche informato che, in verità, soltanto una delle due operazioni dirette è veramente elementare, l’addizione, poiché la moltiplicazione può intendersi come una sorta di riassunto dell’altra, il che è evidente almeno nel caso dei numeri interi (4 . 3 = 3 . 4 = 4 + 4 + 4 = 3 + 3 +3 + 3)!

Si nota poi con sorpresa che, contrariamente a quelle dirette (a + b = b + a;  a . b = b . a), le due operazioni inverse sopra definite non sono “commutative”, cioè che si ha che (con ≠ da leggersi “differente da”)

                                               c - a  ≠ a - c

                                               c / a  ≠ a / c

Infatti:                                      5 – 2 = 3 ;        2 – 5 = - 3                                           

e:                                             6 / 3 = 2 ;         3 / 6 = 0,5

Inoltre, è abbastanza sconvolgente rendersi conto del fatto che togliendo cinque mele da un cesto, che ne contiene solo due, si giunga all’assurdo algebrico di “meno tre mele”. Invece, più vicino al buon senso comune sembrerebbe la situazione in cui, dividendo per sei un cesto con tre uova fresche, si ottenga come risultato “mezzo uovo fresco”, anche se difficile da gestire. Però, una volta ingoiato il rospo (o, meglio, i rospi), si scoprono i numeri “relativi”, cioè interi negativi e positivi ed i numeri frazionari. Questi ultimi, assieme ai relativi, portano alla definizione dei numeri detti “razionali”, cioè esprimibili come rapporti fra numeri relativi, cioè fra interi col segno più e col segno meno. Si potrebbe dire che le operazioni aritmetiche inverse sono “prolifiche”, nel senso che, per essere sempre eseguibili partendo dai numeri interi naturali, generano, o permettono di definire, nuove classi di numeri.

L’apprendimento della geometria elementare e dei primi rudimenti delle scienze fisiche conducono poi a constatare che esistono anche altri importantissimi numeri non razionali (irrazionali), cioè non esprimibili mediante rapporti fra numeri interi relativi, cosa che mise in subbuglio i matematici ed i filosofi dell’antica Grecia. La lunghezza della diagonale di un quadrato di lato uno (p. es.: 1 m), per esempio, non si può esprimere come rapporto fra numeri interi ed è quindi “irrazionale”, come pure irrazionale è il rapporto fra la lunghezza di qualsiasi circonferenza ed il relativo diametro. La differenza fra i due casi è che la diagonale del quadrato unitario, grazie al famigerato “Teorema di Pitagora”, misura  metri, mentre il rapporto π fra la circonferenza ed il diametro non è neppure esprimibile con radicali od altre note espressioni algebriche elementari. È un numero irrazionale detto “trascendente”.

Ma come sono apparsi numeri come ? Ciò è avvenuto partendo dalla constatazione che la moltiplicazione di una quantità x per se stessa, diciamo n volte, portava alla definizione di una nuova operazione algebrica (ancora … una?), nel modo seguente:

x . x . x . x . …. (n volte) = x ⁿ =  x ^ n  (notazione dei calcolatori tascabili).

Come si sa, tale nuova operazione è chiamata elevazione a potenza o, semplicemente, “potenza” ed è una delle cause dei primi fenomeni di rigetto delle scienze esatte da parte dell’ingenuo allievo delle medie e dei licei.. È importante osservare che l’introduzione dell’operazione potenza ha permesso la definizione e lo studio delle equazioni algebriche, prima fra tutte la famosa equazione di secondo grado, che è notoriamente del tipo ax² + bx + c = 0, ed attorno alla quale si sono consumati molti sacrifici di studenti all’esame di maturità.

Appare a questo punto evidente che un parallelismo può essere stabilito fra la definizione della moltiplicazione come un’addizione iterativa (5 + 5 + 5 = 5 . 3) e quella della potenza come una moltiplicazione iterativa (5 . 5 . 5 = 5 ^ 3 = 5 ³). La potenza, in tal caso, risulta semplicemente come la notazione abbreviata o concisa (il … riassunto) di una moltiplicazione ripetuta, il che è nuovamente evidente nel caso dei numeri interi. Però, se il risultato ottenuto mediante la nuova definizione è certamente utile, vero è che le operazioni fondamentali, anche se non vogliamo più chiamarle elementari, diventano tre (addizione, moltiplicazione e … potenza), invece che due.

Un fatto realmente sconvolgente è la constatazione che l’operazione (diretta) di elevazione a potenza non è essa stessa commutativa, cioè che si ha:

a ^b ≠ b ^a che si può scrivere come a ^ b ≠ b ^ a.

Per esempio, è risaputo che:       2 ³ = 2 ^ 3 = 8

mentre:                                    3 ² = 3 ^ 2 = 9.

Ciò implica immediatamente che l’elevazione a potenza deve avere due operazioni inverse invece di una (come succede per l’addizione e per la moltiplicazione), quella “vista da destra” e quella “vista da sinistra”. Prendiamo in considerazione, per esempio, l’espressione seguente:

                                               100 = 10 ² = 10 ^ 2.

Ebbene, le due operazioni inverse, che agiscono sullo stesso “operando” 100, sono:

-  inversa sinistra        10 =         detta estrazione di radice (nell’esempio: quadrata)

-  inversa destra           2 =  log ₁₀ 100     detta logaritmo (nell’esempio: a base 10).        

Gli “addetti ai lavori”, come pure chi ha dovuto subirli come esaminatori, sono perfettamente al corrente che tali due operazioni inverse, per essere eseguibili, hanno fatto apparire nuove classi di numeri, “reali” e “complessi”. Noto infatti è lo stupore prodotto negli allievi ignari ed innocenti da espressioni “impossibili” come le radici quadrate di numeri negativi, che hanno introdotto le componenti “immaginarie” dei numeri complessi. Anche il grande Eulero rimase esterrefatto quando scoprì che, una volta ammesso che esista il numero i, unità immaginaria, definita come i ² = -1, che è già una … cosa dell’altro mondo, e una volta definiti i numeri e e π (entrambi trascendenti), si potesse dimostrare che si ha:         

                                               e ^{π i} = -1.

Tale formula, presentata ad una persona non avvertita, può produrre uno choc tale da distoglierlo per sempre dallo studio delle scienze esatte. Per non parlare dei logaritmi dei numeri negativi, su cui sono apparsi dei libri serissimi e che certi rispettabilissimi matematici hanno definito … un’assurdità.

Ma quante sono, finalmente le operazioni fondamentali (dirette) dell’algebra e come si può controllare la prolificità delle loro operazioni inverse ? Esiste una risposta a tale domanda, o la risposta non esiste e la matematica, contrariamente a quanto si crede, è, effettivamente, … un’opinione ?

Pare che gli schemi ternari (a tre livelli) rappresentino, per molte culture e civiltà, delle strutture logiche fondamentali e profonde dalle quali è difficile prescindere (le tre persone dei verbi, i tre poteri dello stato, le tre Virtù teologali, il Terzo Mondo, i danni contro terzi, ecc.), con sorprendenti e misteriose corrispondenze nelle scienze fisiche (i tre stati d’aggregazione della materia, le tre dimensioni dello spazio ordinario, ecc.). La parola TRES, tre in latino, ma di antichissima origine indoeuropea, avrebbe un’etimologia simile a quella di TRANS, col significato di oltre, al-di-là. Si dice che certe etnie primitive sapessero contare effettivamente fino a tre, che rappresentava per loro la frontiera logica delle misure immediatamente accessibili allo spirito umano. Oltre, c’era l’inaccessibile, o il difficilmente accessibile, ad un’analisi immediata. Uno, due, tre (col senso di “oltre”), oltre il quale c’è ... l’aldilà, per non dire l’immensità o … l’infinito. Le operazioni fondamentali dell’algebra, finalmente, quante sono: una, due, tre, forse quattro ? Di più? Forse infinite? Pourquoi pas ?!        

Chi si è avvicinato alle scienze dell’informazione ed all’informatica teorica ha certamente avuto fra le mani degli indizi che lasciano supporre che esista una gerarchia delle operazioni algebriche con un numero di livelli molto più grande di quanto generalmente si supponesse. In particolare, l’analisi della durata di calcolo dei computer superpotenti (il cosiddetto “calcolo intensivo”), fa apparire espressioni in cui figurano delle elevazioni a potenza ripetute (o iterative). Per esempio, si possono incontrare formule che coinvolgono una variabile x, elevata “n volte a se stessa”, del tipo seguente (con la convenzione di dare la priorità al calcolo degli esponenti):

  …. (n volte) =  ⁿ x =  x # n  (nuove notazioni).  

A tale nuova operazione, da parte di alcuni ricercatori nel campo della teoria dei numeri o dell’intelligenza artificiale (AI) o da qualche adepto di matematica … ricreativa, sono stati proposti i nomi di “torre” (per l’assonanza, in inglese, fra “power” e “tower”, da alcuni definita come “power tower”, torre di potenze)            o di “tetrazione” , con riferimento al fatto che si trova al quarto livello di concisione.    Ma, allora, le operazioni fondamentali sono forse, nuovamente, quattro (addizione, moltiplicazione, potenza e tetrazione) ?

Negli ultimi anni del ventesimo secolo, ha incominciato a serpeggiare la convinzione che l’operazione torre meritasse uno studio più approfondito, potendo avere un’applicazione notevole nella rappresentazione di grandissimi numeri. Infatti, un’espressione semplicissima come dieci-torre-tre (o dieci-tetrato-tre) rappresenta un numero immenso, come si può osservare dagli sviluppi seguenti:

³ 10 = 10 # 3 = 10 ^ (10 ^ 10) = 10 ^ 10.000.000.000 = 10 ^{10.000.000.000}.

Il risultato dell’operazione è un numero rappresentabile da un 1, seguito da … 10 miliardi zeri. Non esistono praticamente misure fisiche di tale ordine di grandezza, tranne nel campo della teoria delle probabilità o, appunto, del calcolo intensivo. Se, poi, si cercasse d’immaginare che cosa può rappresentare un numero come 10 # 4 (dieci-torre-quattro), si potrebbe incominciare ad intuire il senso dell’immensità (si tratta di un 1 seguito da 10 ^{10.000.000.000} zeri, una cosa assolutamente … demenziale). Ma questo è soltanto l’inizio.

Nel 2001, navigando nella tela dell’Internet, l’autore di queste righe (Giovanni F. Romerio, socio del Rotary Club di Saluzzo) ha avuto la fortuna di scambiare delle note con Constantin Rubtsov, ricercatore di Belgorod, Russia, una città industriale situata nelle vicinanze della frontiera ucraina, entrambi ingegneri ed entrambi con qualche pallino matematico. Rubtsov, nel frattempo (e per conto suo) aveva già sviluppato delle ricerche interessantissime sulla gerarchia dei livelli, riuscendo perfino a definire un’operazione di livello zero, cui si è convenuto di imporre il nome di “zerazione”. Il risultato dello scambio di note si è concretizzato in un testo, in inglese, con il titolo “Ackermann’s Function and New Arithmetical Operations” (clccabile).

Gli autori del testo hanno concordato di denominare “iperoperazione di rango s” (rank s hyperoperation) una qualsiasi operazione della gerarchia, restando inteso che i livelli (ranghi) delle iperoperazioni iniziano come segue:

                        livello 0            zerazione                     a ° b                

                        livello 1            addizione                     a + b

                        livello 2            moltiplicazione             a . b

                        livello 3            potenza                        a ^ b = a ^b

                        livello 4            tetrazione (torre)          a # b = ^b a

                        ………              ……………..               ………….

                        (ecc.)

Il testo ha un carattere compreso fra il divulgativo ed il “situation paper”, forse con i difetti e le qualità di entrambi. Le novità del contenuto, almeno per chi ha curiosità in queste cose, sono il livello zero (la “zerazione” di Rubtsov), la “tetrazione” con le relative operazioni inverse (superradice e superlogaritmo) e la parola “ecc.” (eccetera), che implica che si tratta di una … gerarchia infinita.

Il testo è stato sottoposto all’esame critico del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Torino, della direzione generale dell’Istituto Battelle di Ginevra e del centro di ricerche dell’istituto Wolfram Research Inc., Champaign, Illinois, USA. Il prof. Stephen Wolfram, direttore del centro, autore del famoso software Mathematica ( vedi: http://www.wolfram.com/company) e di un libro, anch’esso famosissimo, intitolato NKS (A New Kind of Science, vedi: http://www.wolframscience.com/thebook.html ), ha deciso d’includere il testo nella bibliografia del suo libro, periodicamente aggiornato e ripubblicato negli USA

(Vedi: http://www.wolframscience.com/reference/bibliography.html )

Uno degli autori si ricorda che, negli anni ’80, mentre stava acquistando una copia di un noto periodico scientifico presso il drugstore dei Champs Élisées di Parigi, sentì la voce della ragazza dell’edicola che diceva “Quand vous l’aurez fait, téléphonez moi! (Mi telefoni, quando l’avrà fatto!)”. Fatto cosa, pensò. Poi, lesse il titolo sulla copertina “Comprendre l’Infini” (Capire, o comprendere, … l’infinito!) e rispose: “Certainement, madame, c’est promis”. Ora, è chiaro che l’infinito non può, per definizione, essere … compreso (in che cosa?). Ma è anche evidente che le iperoperazioni possono dare l’idea, non proprio dell’infinito, ma almeno dell’immensità. Bisognerebbe telefonare a quella signora, per informarla. Ogni promessa è debito. Ma come fare per rintracciarla, dopo così tanto tempo … !

Gli autori dell’articolo, G. F. Romerio e C. Rubtsov, ringraziano sentitamente il Consiglio Direttivo del Rotary Club di Saluzzo e, in particolare, il presidente prof. Bruno Rossi ed il Socio Silvano Rolando, titolare della società Esroland, per la squisita cortesia di aver accettato di pubblicare il loro testo nel sito Internet del Club.

Cielo e mare.
M’illumino …. d’immenso.
(Giuseppe Ungaretti)

   Ackermann’s Function and New Arithmetical Operations